等不到的公交车

你一定有过等公交车的经历，少数情况下公交车很快就来了，大多时候你苦等十几分钟甚至几十分钟都等不到需要的那班车，可是看一看站台上的公交时刻表，发车时间间隔通常为5～10分钟！为什么我这么倒霉，每次都要等上这么长时间呢？

苦等公交车时，你一定深深怀疑过公交车的发车时间间隔，如果它真的按照要求的时间发车，怎么可能需要等上这么长时间呢？让我们来检查一下，公交车是否真的按时发车了。

假设公交车的发车间隔是10分钟，也就是说，每两辆车都会间隔10分钟到达站台。这样的话，上一班公交车可能在你到达前5分钟离开，那么你需要等5分钟，也可能车刚刚离开，你要等上10分钟，还有可能你刚刚好赶上下一班公交车。可以算出，理想情况下，平均等车时间为5分钟。但是我们知道，现实生活中，公交车会因堵车、意外而迟到或者因乘客较少而早到，到站间隔时间不可能正好为10分钟，这些时候我们的等车时间会怎样变化呢？

因为发车时间间隔为10分钟，1小时里一定会有6辆公交车出发，我们可以认为，1小时里每一个站台都一定会来6辆车。但这些车的到站时间并不一致，假设其中4辆到站间隔为5分钟，另外2辆到站间隔为20分钟，我们既可能遇上到得快的车，也可能遇上到得慢的车。在到站间隔为5分钟的情况下，乘客们的平均等车时间是2.5分钟，在到站间隔为20分钟的情况下，乘客平均需要等10分钟。也许你还会想，前一种情况车更多，因此我们遇上快车的概率更大，平均等车时间会比5分钟少。

事实真的如此吗？看一看钟表，你更能搞清楚真相。虽然慢车只有两辆，但它们的到站时间间隔为20分钟，这意味着在整整40分钟的时间里，仅有两辆驶得慢的公交车到站，要遇上快车，则需要在另20分钟到达车站。那么，你到达车站的时候，是遇上快车的概率大还是慢车的大呢？很明显，遇上慢车的概率为40/60，遇上快车的概率则仅有20/60。考虑到等到两种车的概率大小后，我们可以算出等车的平均时间了：

2.5×20/60+10×40/60=7.5分钟。如果继续假设其他间隔时间，我们可以发现，慢车的到站时间越长，算出的平均等车时间也会越长，甚至会达到数十分钟。

这就解释了公交车明明准点发车，乘客却苦苦等不到车的原因：当有一辆车晚点时，人们的平均等待时间就会变长。而且，由于多数人出现在等待时间更长的时段里，人们就会感觉自己的等车时间很长。

（铜鱼摘自《大科技·科学之谜》2022年2月A，本刊节选，小黑孩图）